Đại số tuyến tính Ví dụ

$x + y + z = 2$ , $4 x + 5 y + z = 12$ , $2 x = - 4$

Bước 1

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 1 & 12 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 5 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 1 & 12 - 4 \cdot 2 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 2 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Bước 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & - 4 - 2 \cdot 2 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & - 2 & - 2 & - 8 \end{array}]$

Bước 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot - 3 & - 8 + 2 \cdot 4 \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & - 8 & 0 \end{array}]$

Bước 2.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot 0 \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 2 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 2 - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = - 2$

$y = 4$

$z = 0$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(- 2, 4, 0)$

Bước 5

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}]$